Calculer le volume d'un cylindre : Explications et formules

Le volume d'un cylindre tient en une ligne: V = π x r² x h. Ce qui fait rater le résultat, ce n'est presque jamais la formule, c'est le rayon confondu avec le diamètre et les unités laissées en désordre.

Cet article prend donc le problème par les erreurs plutôt que par la théorie. On va reprendre les cas qui coûtent des points en classe et des mètres cubes en travaux, y compris les calculs faux qu'on trouve recopiés sur des dizaines de pages web, et montrer où exactement le raisonnement dérape.

D'où vient la formule

Un cylindre de révolution, c'est deux disques identiques et parallèles reliés par une surface courbe. Attention à un mot souvent mal employé: les deux bases sont parallèles entre elles, pas perpendiculaires. Elles sont en revanche perpendiculaires à l'axe.

Le volume suit la règle générale des solides droits: aire de la base multipliée par la hauteur. L'aire d'un disque valant π x r², on obtient V = π x r² x h. Rien de mystérieux, et c'est le même raisonnement qui donne le volume d'un prisme ou d'une boîte.

Le nombre π vaut environ 3,1416. C'est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, pas l'inverse. La formulation contraire traîne dans beaucoup de fiches de révision, et si elle ne change pas le résultat, elle trahit une compréhension bancale de ce qu'on manipule.

Un détail qui surprend parfois: la formule reste valable pour un cylindre oblique, c'est-à-dire penché, à condition de prendre la hauteur perpendiculaire entre les deux bases et non la longueur du côté incliné. C'est le principe de Cavalieri.

Les trois erreurs qui reviennent tout le temps

La première est le rayon pris pour le diamètre. Un tuyau vendu en diamètre 100 a un rayon de 50 mm. Utiliser 100 dans la formule multiplie le volume par quatre, parce que le rayon est au carré. C'est de très loin la faute la plus fréquente, et la plus coûteuse quand elle sert à commander du béton.

La deuxième est le mélange d'unités. On lit parfois qu'il faudrait convertir le résultat quand le rayon est en centimètres et la hauteur en mètres. Non: on convertit avant, pas après. Tout doit être exprimé dans la même unité de longueur, et le volume sort alors dans le cube de cette unité. Rayon en cm et hauteur en cm donnent des cm³; rayon en m et hauteur en m donnent des m³.

La troisième est l'arrondi trop précoce. Prendre π = 3,14 introduit un écart d'environ 0,05 %, négligeable pour un devoir. Arrondir le rayon de 2,86 à 3 introduit un écart de 10 %, qui devient 21 % une fois le rayon élevé au carré. Gardez les décimales jusqu'au dernier calcul, arrondissez à la fin.

Deux exemples, dont un corrigé

Cas simple: rayon 5 cm, hauteur 10 cm. V = 3,1416 x 25 x 10 = 785,4 cm³. Avec π = 3,14 on obtient 785 cm³, ce qui suffit largement.

Cas recopié partout avec une faute: rayon 3 cm, hauteur 10 cm. On lit très souvent 282,8 cm³. Le bon résultat est 282,6 cm³ avec π = 3,14, et 282,74 cm³ avec une valeur plus fine. Le calcul est 3,14 x 9 x 10; il n'y a aucune façon d'arriver à 282,8. La faute s'est propagée de site en site sans que personne ne repasse la multiplication.

Cas de chantier: une cuve cylindrique de 80 cm de diamètre et 1,20 m de haut. On convertit d'abord, rayon 0,40 m, hauteur 1,20 m. V = 3,1416 x 0,16 x 1,2 = 0,603 m³, soit 603 litres. Un fournisseur qui annonce 600 litres pour cette cuve ne ment donc pas.

Partir de la circonférence quand on ne peut pas mesurer le rayon

Sur un poteau ou un tronc, le rayon est inaccessible: on ne peut passer un mètre qu'autour. Il faut alors remonter au rayon depuis la circonférence, et c'est là qu'une formule fausse circule beaucoup.

On lit V = π x (c/2)² x h. C'est faux. La circonférence vaut c = 2 x π x r, donc le rayon vaut c divisé par 2π, soit c / 6,2832, et non c / 2. La formule correcte, une fois simplifiée, s'écrit V = c² x h / (4π).

Reprenons l'exemple qui accompagne d'ordinaire cette erreur, une circonférence de 18 cm. Le rayon vaut 18 / 6,2832 = 2,865 cm. Son carré vaut 8,21. Le volume vaut donc 25,8 x h cm³, et non 81,4 x h comme on le lit parfois. L'écart est d'un facteur trois: sur un tronc de 3 mètres, cela fait la différence entre 7,7 litres de bois et 24 litres.

Passer aux litres, et à quoi ça sert vraiment

La conversion à retenir est courte: 1 dm³ = 1 litre, donc 1 m³ = 1 000 litres et 1 000 cm³ = 1 litre. C'est elle qui rend le calcul utile en dehors d'un cahier d'exercices.

Une piscine ronde de 4 mètres de diamètre remplie sur 1,20 m contient 3,1416 x 4 x 1,2 = 15,08 m³, soit environ 15 000 litres: de quoi doser correctement le traitement de l'eau. Une casserole de 20 cm de diamètre remplie sur 8 cm contient 2 513 cm³, soit 2,5 litres. Un pilier de béton de 30 cm de diamètre et 2,50 m de haut réclame 0,177 m³ de matière, et douze piliers identiques dépassent les 2 m³, seuil à partir duquel une livraison de béton prêt à l'emploi devient plus économique qu'un mélange sur place.

Ce réflexe de refaire le calcul avant de commander vaut dans bien d'autres situations, y compris financières: c'est le même travail que de calculer les frais de notaire d'un achat immobilier et chercher à les réduire plutôt que d'accepter l'estimation qu'on vous tend.

La citerne couchée, le cas que la formule simple ne couvre pas

Une cuve à fioul ou un récupérateur d'eau posé à l'horizontale et rempli à moitié de sa hauteur ne contient pas la moitié de son volume, sauf par coïncidence quand le niveau atteint exactement l'axe. Le liquide occupe un segment de disque, et l'aire d'un segment ne varie pas proportionnellement à sa hauteur.

La formule à appliquer est V = L x ( r² x arccos((r - e) / r) moins (r - e) x racine(2 x r x e - e²) ), où L est la longueur de la citerne, r le rayon et e la hauteur de liquide relevée à la jauge. Exemple: une citerne de 1,20 m de diamètre et 2 m de long, remplie sur 30 cm. Le calcul donne 0,442 m³, soit 442 litres, alors que la citerne pleine en contient 2 262. Un quart de la hauteur ne représente donc que 20 % du contenu.

Les cas voisins, et ce que la formule ne fait pas

Un tube creux, un anneau, un carottage: le volume de matière vaut π x h x (R² - r²), avec R le rayon extérieur et r le rayon intérieur. On soustrait le vide, on ne le retranche pas au diamètre.

Pour la surface, deux formules complètent la première. L'aire latérale vaut 2 x π x r x h, ce qu'on utilise pour calculer la quantité de peinture sur un fût. L'aire totale ajoute les deux disques: 2 x π x r x (r + h).

Il faut en revanche corriger une affirmation qu'on trouve en conclusion de plusieurs articles: non, la formule du cylindre ne sert pas à calculer un cône, un cube ou une pyramide. Chacun a la sienne. Le cône vaut π x r² x h / 3, soit le tiers du cylindre de même base et même hauteur. La pyramide suit la même logique du tiers, aire de base multipliée par la hauteur puis divisée par trois. Le cube vaut simplement a³. La sphère vaut 4/3 x π x r³. Confondre ces formules coûte le double du triple, littéralement.

Pour vérifier un résultat, un calculateur en ligne fait l'affaire, comme il existe des outils de gestion de projet en ligne pour le reste: commodes tant qu'on sait ce qu'ils calculent. Le meilleur contrôle reste l'ordre de grandeur. Un cylindre entre toujours dans le pavé droit qui le contient, dont le volume vaut 2r x 2r x h. Le rapport entre les deux est de π/4, soit environ 0,785. Si votre résultat n'occupe pas à peu près 78 % de la boîte, reprenez le calcul.